Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右準(zhǔn)線(xiàn)為，離心率為．若直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，以線(xiàn)段為直徑作圓.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若圓與軸相切，求圓被直線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)題中的條件確定、的值，然后利用求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的方程，然后利用點(diǎn)（圓心）到直線(xiàn)的距離求出弦心距，最后利用勾股定理求出直線(xiàn)截圓所得的弦長(zhǎng).

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意知，，解得，

則，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為             5分

（2）由題意可知，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且位于軸正半軸，

又圓與軸相切，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923391797651061/SYS201310292339543003405972_DA.files/image020.png">，所以，               7分

代入橢圓的方程，可得，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923391797651061/SYS201310292339543003405972_DA.files/image023.png">，解得，               10分

所以圓的圓心為，半徑為，其方程為            12分

因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離              14分

故圓被直線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為             16分

考點(diǎn)：橢圓的方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、勾股定理