Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n滿足關(guān)系式，（n≥2，n為正整數(shù)）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）對于數(shù)列{u_n}，若存在常數(shù)M＞0，對任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…|u₂-u₁|≤M成立，稱數(shù)列{u_n}為“差絕對和有界數(shù)列”，證明：數(shù)列{a_n}為“差絕對和有界數(shù)列”；

Answer 1

解：（1）當n≥2時，，

所以，
即，
所以2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿ•a_n+1
即b_n+1-b_n=1，（n≥2），又b₂-b₁=2²•2×a₁=1
所以，b_n+1-b_n=1，n∈N⁺即{b_n}為等差數(shù)列
（2）
（3）由于|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|=++…+
s_n-s_n＜
所以恒成立，
即[a_n]為“差絕對和有界數(shù)列”．
分析：（1）整理題設(shè)遞推式得進而表示出S_n+1，進而根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1和a_n的遞推式，整理得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿ•a_n+1，進而根據(jù)b_n=2ⁿa_n，求得b_n+1-b_n=1，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列為等差數(shù)列．
（2）根據(jù)（1）中數(shù)列{b_n}的首項和公差，求得數(shù)列的通項公式，進而根據(jù)b_n=2ⁿa_n求得a_n．
（3）把a_n代入|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|中，利用利用錯位想減法求得s_n-s_n＜，進而判斷出以恒成立，根據(jù)“差絕對和有界數(shù)列”的定義，證明出數(shù)列{a_n}為“差絕對和有界數(shù)列”．
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．考查了學生綜合分析問題和創(chuàng)造性思維的能力．