Question

如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AA₁=2CD=2，點P為棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：D₁P∥平面A₁BC；
（Ⅱ）求證：D₁P⊥平面AB₁D；
（Ⅲ）求異面直線A₁C與D₁P所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）要證D₁P∥平面A₁BC，根據(jù)線面平行的判定定理，只要D₁P平行于平面A₁BC內(nèi)一條直線即可，延長D₁P，CD交于E，證明D₁E∥A₁B即可．
（Ⅱ）證明D₁P垂直于平面AB₁D內(nèi)兩條相交直線即可，容易證明D₁P⊥AD，D₁P⊥AB₁．
（Ⅲ）先找出異面直線所成角，容易判斷∠BA₁C即為異面直線所成角，想辦法求出△A₁BC三條邊的長度，根據(jù)余弦定理即可求所成角的余弦值，從而求出這個所成角．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，延長DC，D₁P相交于點E，連接BE；
∵P為CC₁中點，且PC∥DD₁；
∴PC=

1

2

DD1，DE=2CD=AB，AB∥CD；
∴四邊形ABED為平行四邊形；
∴AD∥BE∥A₁D₁，且AD=BE=A₁D₁；
∴四邊形A₁BED₁是平行四邊形；
∴D₁E∥A₁B，即D₁P∥A₁B，A₁B?平面A₁BC，D₁P?平面A₁BC；
∴D₁P∥平面A₁BC．
（Ⅱ）∵D₁D⊥底面ABCD，AD?平面ABCD；
∴D₁D⊥AD，即AD⊥D₁D；
又AD⊥CD，D₁D平面D₁DE，CD?平面D₁DE，且CD∩D₁D=D；
∴AD⊥平面D₁DE，D₁E?平面D₁DE；
∴AD⊥D₁E，即D₁P⊥AD；
∵A₁B₁BA是正方形；
∴A₁B⊥AB₁，∴D₁P⊥AB₁，AB₁∩AD=A；
∴D₁P⊥平面AB₁D．
（Ⅲ）∵D₁P∥A₁B，∴∠BA₁C是異面直線A₁C與D₁P所成的角；
連接CD₁，則△A₁CD₁是Rt△；
A1D1=2，CD1=

5

，∴A₁C=3；
A1B=2

2

，BC=

5

；
∴由余弦定理得：cos∠BA₁C=

8+9-5

12 2

=

2

2

；
∴∠BA₁C=45°，即異面直線A₁C與D₁P所成的角為45°．

點評：本題考查線面平行的判定定理，平行四邊形的判定，線面垂直的性質(zhì)，正方形的對角線相互垂直，線面垂直的判定定理，異面直線所成角，余弦定理．