13.在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù)),再以原點為極點,以x正半軸為極軸建立極坐標系,并使得它與直角坐標系有相同的長度單位,在該極坐標系中圓C的方程為ρ=4sinθ.
(1)求圓C的直角坐標方程;
(2)設圓C與直線l將于點A、B,若點M的坐標為(1,4),求|MA|+|MB|的值.

分析 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y22,能求出圓C的直角坐標方程.
(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程,化簡整理,再由韋達定理和t的幾何意義能求出|MA|+|MB|的值.

解答 解:(1)圓C的方程為ρ=4sinθ,
∴ρ2=4ρsinθ,
∴圓C的直角坐標方程為x2+y2-4y=0.
即x2+(y-2)2=4.
(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程,整理,得t2-3$\sqrt{2}$t+1=0,
△=18-4=14>0,設t1,t2為方程的兩個實根,
則t1+t2=3$\sqrt{2}$,t1t2=1,∴t1,t2均為正數(shù),
又直線l過M(1,4),
由t的幾何意義得:
|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3$\sqrt{2}$.

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化,同時考查直線與圓的位置關系,考查直線參數(shù)方程的運用,是基礎題.

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