Question

如圖所示，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過點A作⊙O₂的切線交⊙O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O₁、⊙O₂于點D、E，DE與AC相交于點P．
（1）求證：△APD∽△CPE；
（2）若AD是⊙O₂的切線，且PA=4，PC=2，BD=6，求AD的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）連結(jié)AB，由已知條件利用弦切角定理和圓周角定理，能證明△APD∽△CPE．
（2）由APD∽△CPE，得

AP

PC

=

DP

PE

=2，6+BP=2PE，又BP•PE=AP•PC=8，由此求出BP=2，從而能求出AD=6

2

．

解答： （1）證明：連結(jié)AB，
由已知條件利用弦切角定理和圓周角定理，得：
∠PEC=∠PAB=∠ADP，
由對頂角性質(zhì)得∠EPC=∠DPA，
∴△APD∽△CPE．
（2）解：∵△APD∽△CPE，PA=4，PC=2，BD=6，
∴

AP

PC

=

DP

PE

=2，
∴6+BP=2PE，
又∵BP•PE=AP•PC=8，
∴BP（3+

1

2

BP）=8，
解得BP=2，或BP=-8（舍），
∴BP=2，PE=

1

2

(6+2)=4，
∴AD²=BD•DE=6×（6+2+4）=72，
∴AD=6

2

．

點評：本題考查兩三角形相似的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意弦切角定理、圓周角定理、切割線定理的合理運用．