【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求證:若
,則
;
(2)當時,試討論函數(shù)
的零點個數(shù).
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)當時,函數(shù)
有且僅有一個零點,當
時,函數(shù)
有兩個零點.
【解析】
試題(1)函數(shù)求導(dǎo),再求導(dǎo)得
恒成立,又因為
恒成立;
(2)由(1)可知,當x≤0時,f″(x)≤0,可得 對x∈R,f′(x)≥0,即ex≥x+1,分類討論當x≥-1時,當x<-1時,函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù)即可得解;
當x<-1時,再分0≤m≤1和m<0兩種情況進行討論,由函數(shù)零點定理進行判斷即可得到答案.
試題解析:,所以
(1)當時,
,則
,令
,則
,當
時,
,即
,所以函數(shù)
在
上為增函數(shù),即當
時,
,所以當
時,
恒成立,所以函數(shù)
在
上為增函數(shù),又因為
,所以當
時,對
恒成立.
(2)由(1)知,當,所以
,所以函數(shù)
的減區(qū)間為
,增函數(shù)為
.所以
,所以對
,
,即
.
①當時,
,又
,
,即
,所以當
時,函數(shù)
為增函數(shù),又
,所以當
時,
,當
時,
,所以函數(shù)
在區(qū)間
上有且僅有一個零點,且為
.
②當時,(ⅰ)當
時,
,所以
,所以函數(shù)
在
上遞增,所以
,且
,故
時,函數(shù)
在區(qū)間
上無零點.
(ⅱ)當時,
,令
,則
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,
,當
時,
,又曲線
在區(qū)間
上不間斷,所以
,使
,故當
時,
,當
時,
,所以函數(shù)
的減區(qū)間為
,增區(qū)間為
,又
,所以對
,又當
時,
,又
,曲線
在區(qū)間
上不間斷.所以
,且唯一實數(shù)
,使得
,綜上,當
時,函數(shù)
有且僅有一個零點;當
時,函數(shù)
有個兩零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,,
,點F為PB中點,點E在邊BC上移動.
(Ⅰ)求證:PD∥平面AFC;
(Ⅱ)若,求證:
;
(Ⅲ)若二面角的大小為60°,則CE為何值時,三棱錐
的體積為
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個頂點為
,離心率
,直線
交橢圓于
、
兩點.
(1)若直線的方程為
,求弦
的長;
(2)如果的重心恰好為橢圓的右焦點
,求直線
方程的一般式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在
軸上,左頂點為
,左焦點為
,點
在橢圓
上,直線
與橢圓
交于
,
兩點,直線
,
分別與
軸交于點
,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】自2016年1月1日起,我國全面二孩政策正式實施,這次人口與生育政策的歷史性調(diào)整,使得“要不要再生一個”,“生二孩能休多久產(chǎn)假”等問題成為千千萬萬個家庭在生育決策上避不開的話題.為了解針對產(chǎn)假的不同安排方案形成的生育意愿,某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取了200戶有生育二胎能力的適齡家庭進行問卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
產(chǎn)假安排(單位:周) | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
有生育意愿家庭數(shù) | 4 | 8 | 16 | 20 | 26 |
(1)若用表中數(shù)據(jù)所得的頻率代替概率,面對產(chǎn)假為14周與16周,估計某家庭有生育意愿的概率分別為多少?
(2)假設(shè)從5種不同安排方案中,隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案,然后由單位根據(jù)單位情況自主選擇.
①求兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周的概率;
②如果用表示兩種方案休假周數(shù)之和.求隨機變量
的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
,其中
R,
…為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當時,
恒成立,求
的取值范圍;
(Ⅱ)求證: (參考數(shù)據(jù):
).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:及點P(0,1),過點P的直線與圓交于A、B兩點.
(1)若弦長求直線AB的斜率;
(2)求△ABC面積的最大值,及此時弦長
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】雙曲線:
的左右頂點分別為
,
,動直線
垂直
的實軸,且交
于不同的兩點
,直線
與直線
的交點為
.
(1)求點的軌跡
的方程;
(2)過點作
的兩條互相垂直的弦
,
,證明:過兩弦
,
中點的直線恒過定點.
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