Question

已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積×高）時(shí)，其高的值為（　�。�

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  3

Answer 1

分析：根據(jù)正六棱柱和球的對(duì)稱性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，作出過正六棱柱的對(duì)角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高和球的半徑的關(guān)系，在這個(gè)關(guān)系下求函數(shù)取得最值的條件即可求出所要求的量．

解答：解：以正六棱柱的最大對(duì)角面作截面，如圖．設(shè)球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，則O是O₁，O₂的中點(diǎn)．設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為2h，則a²+h²=9．正六棱柱的體積為V=6×

3

4

a2×2h，即V=

3 3

2

(9-h2)h，則V′=

3 3

2

(9-3h2)，得極值點(diǎn)h=

3

，不難知道這個(gè)極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．故當(dāng)正六棱柱的體積最大，其高為2

3

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題是在空間幾何體、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯處命制，解題的關(guān)鍵是建立正六棱柱體積的函數(shù)關(guān)系式．考生如果對(duì)選修系列四的《不等式選講》較為熟悉的話，求函數(shù)V=

3 3

2

(9-h2)h的條件可以使用三個(gè)正數(shù)的均值不等式進(jìn)行，即V=

3 3

2

(9-h2)h=

3 3

2 2

(9-h2)•(9-h2)•2h2

≤

3 6

4

( (9-h2)+(9-h2)+2h2 3 )3

，等號(hào)成立的條件是9-h²=2h²．