Question

已知極坐標(biāo)的極點在直角坐標(biāo)系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的參數(shù)方程為

x=tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+12=0．
（Ⅰ）若直線l與圓C相切，求α的值；
（Ⅱ）若直線l與圓C有公共點，求α的范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）將參數(shù)方程消去參數(shù)t，化為直角坐標(biāo)方程，把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．再根據(jù)圓心（4，0）到直線的距離等于半徑，解得tanα的值，結(jié)合α為直線l的傾斜角，可得α的值．
（Ⅱ）直線l與圓C有公共點，可得0≤

|4tanα-0|

tan2α+1

≤2，求得tanα的范圍，可得 α的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）將方程

x=tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)）消去參數(shù)t，化為直角坐標(biāo)方程為 y=tanα•x，
把圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+12=0化為直角坐標(biāo)方程為 （x-4）²+y²=4．
再根據(jù)圓心（4，0）到直線的距離等于半徑，可得d=

|4tanα-0|

tan2α+1

=r=2，
解得tanα=±

3

3

．
結(jié)合α為直線l的傾斜角，可得α=

π

6

，或α=

5π

6

．
（Ⅱ）直線l與圓C有公共點，∴d≤r，即0≤

|4tanα-0|

tan2α+1

≤2，
解得-

3

3

≤tanα≤

3

3

，∴α∈[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．