【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；

（Ⅲ）若函數(shù)，當時， 的最大值為，求證： .

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，

所以故， ，代入點斜式可得曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）由題

（1）當時， 在上單調(diào)遞增. 則函數(shù)在上的最小值是

（2）當時，令，即，令，即

（i）當，即時， 在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當，即時，由的單調(diào)性可得在上的最小值是

（iii）當，即時， 在上單調(diào)遞減， 在上的最小值是

（Ⅲ）當時，

令，則是單調(diào)遞減函數(shù).

因為， ，

所以在上存在，使得，即

討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當時， 取得最大值是

因為，所以由此可證

試題解析：（Ⅰ）因為函數(shù)，且，

所以，

所以

所以，

所以曲線在處的切線方程是，即

（Ⅱ）因為函數(shù)，所以

（1）當時， ，所以在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在上的最小值是

（2）當時，令，即，所以

令，即，所以

（i）當，即時， 在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當，即時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（iii）當，即時， 在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值是

綜上所述，當時， 在上的最小值是

當時， 在上的最小值是

當時， 在上的最小值是

（Ⅲ）因為函數(shù)，所以

所以當時，

令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).

因為， ，

所以在上存在，使得，即

所以當時， ；當時，

即當時， ；當時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當時， 取得最大值是

因為，所以

因為，所以

所以

練習冊系列答案
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（2）若線段CD上能找到點E，滿足AE⊥SE，則λ可能的取值有幾種情況？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，當λ為所有可能情況的最大值時，線段CD上滿足AE⊥SE的點有兩個，分別記為E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.

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【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分數(shù)在以上（含）的同學獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.

（I）在答題卡上填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”？

文科生

理科生

合計

獲獎

不獲獎

合計

（II）將上述調(diào)査所得的頻率視為概率，現(xiàn)從該校參與競賽的學生中，任意抽取名學生，記“獲獎”學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

附表及公式：，其中.

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分組

女柜員

2

3

8

5

2

男柜員

1

3

9

4

3

（1）在答題卡所給的坐標系中分別畫出男、女柜員員工的頻率分布直方圖；分別求出男、女柜員員工的月平均“不滿意”次數(shù)的估計值，試根據(jù)估計值比較男、女柜員員工的滿意度誰高？

（2）在抽取的40名柜員員工中：從“不滿意”次數(shù)不少于20的員工中隨機抽取3人，并用X表示隨機抽取的3人中女柜員工的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

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