Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，1），B（2，3），C（s，t），P（x，y），△ABC是等腰直角三角形，B為直角頂點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C（s，t）；
（2）設(shè)點(diǎn)C（s，t）是第一象限的點(diǎn)，若$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AC}$，m∈R，則m為何值時(shí)，點(diǎn)P在第二象限？

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{BC}$=（s-2，t-3），由于△ABC是等腰直角三角形，B為直角頂點(diǎn)．可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$，即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（s-2）^{2}+（t-3）^{2}}$，聯(lián)立解出即可．
（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)在第二象限的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{BC}$=（s-2，t-3），
∵△ABC是等腰直角三角形，B為直角頂點(diǎn)．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=s-2+2（t-3）=0，$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$，即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（s-2）^{2}+（t-3）^{2}}$，
化簡(jiǎn)為s+2t-8=0，（s-2）²+（t-3）²=5，
聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}{s=0}\\{t=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{s=4}\\{t=2}\end{array}\right.$．
∴C（0，4），或（4，2）．
（2）∵點(diǎn)C（s，t）是第一象限的點(diǎn)，∴C（4，2）．
設(shè)P（x，y），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AC}$，m∈R，
∴（x-1，y-1）=（1，2）-m（3，1）=（1-3m，2-m）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=1-3m}\\{y-1=2-m}\end{array}\right.$，
解得x=2-3m，y=3-m．
∵點(diǎn)P在第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-3m＜0}\\{3-m＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}＜m＜3$．
∴m∈$（\frac{2}{3}，3）$，點(diǎn)P在第二象限．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)在第二象限的坐標(biāo)特點(diǎn)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．