【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)當(dāng)直線的斜率為1時(shí),求的面積;

(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2);(3)存在,的取值范圍為.

【解析】

試題分析:(1)由短軸長(zhǎng)為,由兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn),由此求出,即可求出橢圓方程;(2)先寫(xiě)出直線的方程,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,求出的坐標(biāo),從而求出,由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到到直線的距離即可求三角形的面積;(3) 設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理計(jì)算,即可求出的取值范圍.

試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為,

根據(jù)題意得 所以

所以橢圓方程為;

(2)根據(jù)題意得直線方程為,

解方程組坐標(biāo)為 計(jì)算,

點(diǎn)到直線的距離為, 所以,;

(3)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形.因?yàn)橹本與軸不垂直,所以設(shè)直線的方程為

坐標(biāo)為,

得,

,

計(jì)算得:,其中

由于以為鄰邊的平行四邊形是菱形,所以,

計(jì)算得, , 所以.

(可以設(shè)點(diǎn),也可以設(shè)直線得到的函數(shù)關(guān)系式)

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(1)求定點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求圓的方程;

(3)已知點(diǎn)為圓直徑的一個(gè)端點(diǎn),若另一個(gè)端點(diǎn)為點(diǎn),問(wèn):在軸上是否存在一點(diǎn),使得為直角三角形,若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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①已知關(guān)于的不等式的角集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

②已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則、也構(gòu)成等比數(shù)列.

③已知函數(shù)(其中)在上單調(diào)遞減,且關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則

④已知,且,則的最小值為

⑤在平面直角坐標(biāo)系中, 為坐標(biāo)原點(diǎn), 的取值范圍是

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組數(shù)

分組

低碳族的人數(shù)

占本組的頻率

第一組

120

0.6

第二組

195

第三組

100

0.5

第四組

0.4

第五組

30

0.3

第六組

15

0.3

(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求的值(直接寫(xiě)結(jié)果);

(2)從年齡段在低碳族中采用分層抽樣法抽取6人參加戶(hù)外低碳體驗(yàn)活動(dòng),其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì),求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中至少有1人年齡在歲的概率.

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