Question

（2008•深圳一模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中a_n≠0，a₁為常數(shù)，且-a₁、S_n、a_n+1成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=1-S_n，問(wèn)：是否存在a₁，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列？若存在，求出a₁的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)-a₁、S_n、a_n+1成等差數(shù)列得到2S_n=a_n+1-a₁；再結(jié)合前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系整理即可得a_n+1=3a_n（n≥2）；得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁、公比為3的等比數(shù)列即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；結(jié)合其通項(xiàng)公式即可求出對(duì)應(yīng)的a₁的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得2S_n=a_n+1-a₁．于是，當(dāng)n≥2時(shí)，有

2Sn=an+1-a1 2Sn-1=an-a1

．
兩式相減，得a_n+1=3a_n（n≥2）．
又因?yàn)閍₂=2S₁+a₁=3a₁，a_n≠0，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁、公比為3的等比數(shù)列．
因此，a_n=a₁•3^n-1（n∈N^*）；
（Ⅱ）因?yàn)?span id="dx6gu6d" class="MathJye">Sn=

a1(1-3n)

1-3

=

1

2

a1•3n-

1

2

a1，
所以bn=1-Sn=1+

1

2

a1-

1

2

a1•3n．
要使{b_n}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1+

1

2

a1=0，即a₁=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．其中第一問(wèn)涉及到了已知前n項(xiàng)和如何求通項(xiàng)問(wèn)題．