Question

如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點(diǎn)．
（1）若PA=2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系．取AC的中點(diǎn)F，連接BF則BF⊥AC．根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得A、B、C、P、E各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量、的坐標(biāo)，再用空間向量的夾角公式加以計(jì)算，結(jié)合異面直線所成的角的定義即可得到直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）設(shè)PA=a，可得、含有字母a的坐標(biāo)形式，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面PBC的一個(gè)法向量為=（a，a，2），同理得到平面ADE的一個(gè)法向量=（-a，-a，2），由平面ADE⊥平面PBC可得•=-a²-a²+4=0，解之得a=，由此即可得到線段PA的長(zhǎng)．
解答：解：（1）如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接BF，則BF⊥AC．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
則A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）
∴=（，1，-2），=（0，1，1）
設(shè)直線AE、PB所成的角為θ，則cosθ==
即直線AE與PB所成角的余弦值為；
（2）設(shè)PA=a，則P（0，0，a），可得=（，1，-a），=（0，2，-a）
設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則•=0且•=0
∴，令z=2，得y=a，x=．
可得=（a，a，2）是平面PBC的一個(gè)法向量
∵D、E分別為PB、PC中點(diǎn)，∴D（，，），E（0，1，）
因此，=（，，），=（0，1，），
類(lèi)似求平面PBC法向量的方法，可得平面ADE的一個(gè)法向量=（-a，-a，2）
∵平面ADE⊥平面PBC，
∴⊥，可得•=-a²-a²+4=0，解之得a=
因此，線段PA的長(zhǎng)等于．
點(diǎn)評(píng)：本題給出側(cè)棱PA與底面△ABC垂直的三棱錐，求異面直線所成的角并在面面垂直的情況下求線段PA的長(zhǎng)，著重考查了利用空間向量研究線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．