Question

7．若f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0），證明：f（x）在（0，+$\sqrt{a}$）上遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）上遞增．

Answer 1

分析 根據(jù)單調(diào)性的定義，可設(shè)x₁＞x₂＞0，然后作差$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，從而只需證明${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\sqrt{a}）$上，f（x₁）＜f（x₂），而在$（\sqrt{a}，+∞）$上f（x₁）＞f（x₂），從而根據(jù)單調(diào)性的定義得出f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上遞減，而在（$\sqrt{a}$，+∞）上遞增．

解答 證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
f（x₁）-f（x₂）=${x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{a}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∴${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\sqrt{a}）$時(shí)，0＜x₁x₂＜a；
∴$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞\frac{1}{a}$，a＞0；
∴$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＞1$；
∴$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在$（0，\sqrt{a}）$上單調(diào)遞減；
${x}_{1}，{x}_{2}∈（\sqrt{a}，+∞）$時(shí)，$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在$（\sqrt{a}，+∞）$上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 考查增函數(shù)、減函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程，以及不等式的性質(zhì)，作差的方法比較f（x₁），f（x₂）的大�。�