Question

5．已知平面向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OB}$所成的角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=3，|$\overrightarrow{OC}$|滿足|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1，則|$\overrightarrow{AC}$|的取值范圍是（　　）

• A． [1，3]
• B． [$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$+1]
• C． [$\sqrt{6}$-1，$\sqrt{6}$+1]
• D． [$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1可得$|\overrightarrow{CB}|$=1．如圖所示，可得A，B，利用兩點之間的距離公式可得|AB|，利用|AB|-R≤|AC|≤|AB|+R，即可得出|$\overrightarrow{AC}$|的取值范圍．

解答 解：由|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1可得$|\overrightarrow{CB}|$=1．
如圖所示，A$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B（3，0），
|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-3）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵|AB|-R≤|AC|≤|AB|+R．
∴|$\overrightarrow{AC}$|的取值范圍是$[\sqrt{7}-1，\sqrt{7}+1]$．
故選：D．

點評 本題考查了向量的應用、兩點之間的距離公式、點與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合方法、計算能力，屬于中檔題．