Question

3．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜邊AB上的動點(diǎn)（除端點(diǎn)外），設(shè)P到兩直角邊的距離分別為d₁，d₂，則$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用三角形的面積公式可得S_△ABC=S_△BCD+S_△ACP，即為4=d₁+4d₂，求得$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$=$\frac{1}{4}$（d₁+4d₂）（$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$）
展開后運(yùn)用基本不等式，計算即可得到所求最小值．

解答 解：如右圖，可得S_△ABC=S_△BCD+S_△ACP，
$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$d₁•BC+$\frac{1}{2}$d₂•AC，
即為4=d₁+4d₂，
則$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$=$\frac{1}{4}$（d₁+4d₂）（$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{4vln99zx_{2}}{bjfrxdp_{1}}$+$\frac{1rl9ndt_{1}}{n9dlf9f_{2}}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{47lpl9hx_{2}}{pjjzvtb_{1}}•\frac{f75jf1f_{1}}{f99t9x7_{2}}}$）=$\frac{1}{4}$×（5+4）=$\frac{9}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4bxzxvtz_{2}}{7rvpfpt_{1}}$=$\frac{7l93fdj_{1}}{zz3ljtl_{2}}$，即d₁=2d₂=$\frac{4}{3}$，取得最小值$\frac{9}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值問題中的運(yùn)用，注意運(yùn)用等積法，以及乘1法，運(yùn)用基本不等式求最值時，注意等號成立的條件，屬于中檔題和易錯題．