Question

7．四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共計(jì)10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為$\frac{47}{70}$．

Answer 1

分析 先利用組合求出10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的所有的基本事件個(gè)數(shù)；利用分類討論的方法求出取出的四點(diǎn)在一個(gè)平面上的所有的基本事件個(gè)數(shù)；利用對(duì)立事件求出不共面的所有的基本的事件個(gè)數(shù)；利用古典概型概率公式求出這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率．

解答 解：10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法為C₁₀⁴=210種
只要求出共面的就可以了
共面的分三種情況：
①、四個(gè)點(diǎn)都在四面體的某一個(gè)面上，每個(gè)面6個(gè)點(diǎn)，有 C₆⁴=15種，四個(gè)面共有4*15=60種情況．
②、其中三點(diǎn)共線，另一個(gè)點(diǎn)與此三點(diǎn)不在四面體的某一個(gè)面上，
而在與此三點(diǎn)所在直線異面的那條直線的中點(diǎn)，
顯然只有6種情況（因?yàn)樗拿骟w只有6條邊）．
③、其中兩點(diǎn)所在直線與另兩點(diǎn)所在直線平行，
且這四個(gè)點(diǎn)也不在四面體的某一個(gè)面上，畫圖可得出只有3種情況．
因此，取四個(gè)不共面的點(diǎn)的不同取法共有：210-60-6-3=141
所以這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為$\frac{141}{210}$=$\frac{47}{70}$．
故答案為：$\frac{47}{70}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用排列、組合求完成事件的方法數(shù)、考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法、考查對(duì)立事件的概率的求法．