Question

8．函數$y={log_{\frac{1}{3}}}（{sinx-cosx}）$的單調遞增區(qū)間是（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z．

Answer 1

分析 令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，求得函數的定義域．根據函數即 y=${log}_{\frac{1}{3}}t$，故本題即求函數t的減區(qū)間．再根據正弦函數的單調性求得函數t的減區(qū)間．

解答 解：令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，可得2kπ＜x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，k∈Z，
求得2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，故函數的定義域為{x|2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$}．
再根據函數即 y=${log}_{\frac{1}{3}}t$，故本題即求函數t的減區(qū)間．
令2kπ+$\frac{π}{2}$＜x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，求得2kπ+$\frac{3π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，
故函數t的減區(qū)間為（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$ ），
故答案為：（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$ ），k∈Z．

點評 本題主要考查復合函數的單調性，對數函數、正弦函數的性質，體現(xiàn)了轉化的數學思想，屬于中檔題．