Question

15．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=2a_n-2n對n∈N^*成立，
（1）證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系化簡得a_n=2a_n-1+2，變形為a_n+2=2（a_n-1+2），即可證明；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：由S_n=2a_n-2n對n∈N^*成立，當n=1時，a₁=S₁，故a₁=2．
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，化簡得a_n=2a_n-1+2，即a_n+2=2（a_n-1+2），且a₁+2=4．
故數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，公比為2，首項為4，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）解：由（1）知：na_n=n•2ⁿ⁺¹-2n．
令A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2A_n=2³+2×2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴A_n=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列數(shù)列的前n項和公式、遞推關(guān)系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．