Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0 ） 經(jīng)過點 P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），離心率 e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)過點E（0，-2 ） 的直線l 與C相交于P，Q兩點，求△OPQ 面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在，不合題意，可設(shè)直線l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用判別式大于0和韋達定理，以及弦長公式，點到直線的距離公式，由三角形的面積公式，運用換元法和基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由點$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓上得，$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$①
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②，c²=a²-b²③
由①②③得c²=3，a²=4，b²=1，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在，不合題意，可設(shè)直線l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將y=kx-2代入橢圓方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
由△=16²k²-48（1+4k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{16k}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{48}{1+4{k}^{2}}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
又O到直線PQ的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d•|PQ|=4•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
設(shè)t=$\sqrt{4{k}^{2}-3}$，（t＞0），則4k²=3+t²，
即有S_△OPQ=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$
由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$時等號成立，滿足判別式大于0．
則S_△OPQ≤1．
故△OPQ 面積的最大值為1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查三角形的面積的最大值，注意運用聯(lián)立方程組，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，考查基本不等式的運用：求最值，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．