Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=（cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（-cos

B

2

，sin

B

2

），且滿足

m

•

n

=-

1

2

．
（1）求角C的大小；
（2）若a-b=2，c=

5

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積得運算法則化簡

m

•

n

=-

1

2

，利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡后，即可求出cos

A+B

2

的值，根據(jù)

A+B

2

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出

A+B

2

的度數(shù)，進而得到C的度數(shù)；
（2）由c，cosC的值利用余弦定理即可得到ab的值，然后由ab的值和sinC，利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解（1）∵

m

•

n

=-cos

A

2

cos

B

2

+sin

A

2

sin

B

2

=-cos（

A

2

+

B

2

）=-

1

2

，（3分）
∴cos

A+B

2

=

1

2

．注意到0＜

A+B

2

＜

π

2

，
∴

A+B

2

=

π

3

，得C=

π

3

．（6分）
（2）由c²=a²+b²-2abcos

π

3

，得5=（a-b）²+ab，ab=1，（9分）
因此△ABC的面積S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

．（12分）

點評：此題考查學生掌握平面向量的數(shù)量積得運算法則，靈活運用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．