Question

 在實(shí)數(shù)集R上定義運(yùn)算：

 

（Ⅰ）求F(x)的解析式；

（Ⅱ）若F(x)在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若a=－3，在F(x)的曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不

存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

 解析：（I）由題意，F(xiàn)(x)=f(x) (a－g(x))…

=e^x(a－e^－x－2x²)

=ae^x－1－2x²e^x.…

    （II）∵F′(x)=ae^x－2x²e^x－4xe^x=－e^x(2x²+4x－a)，      

    當(dāng)x∈R時(shí)，F(x)在減函數(shù)，

∴F′(x)≤0對(duì)于x∈R恒成立，即

     －e^x(2x²+4x－a)≤0恒成立，          ∵e^x>0，

∴2x²+4x－a≥0恒成立，

∴△=16－8(－a) ≤0，

∴a≤－2.

（III）當(dāng)a=－3時(shí)，F(xiàn)(x)= －3e^x－1－2x²e^x，

     設(shè)P(x₁，y₁)，Q（x₂，y₂）是F(x)曲線上的任意兩點(diǎn)，

∵F′(x)= －e^x(2x²+4x+3)=－e^x[2(x+1)²+1]<0，

∴ F′(x₁)·F′(x₂)>0，

∴F′(x₁)·F′(x₂)= －1 不成立

∴F(x)的曲線上不存的兩點(diǎn)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線點(diǎn)互相垂直.