Question

14．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，${e}^{-\frac{2}{3}}$） ．

Answer 1

分析 方程f（x）=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，可化為函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$的圖象，由數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：（x）=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
可化為函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$的圖象，
由已知的C（0，-$\frac{1}{3}$），B（1，0），∴${k}_{BC}=\frac{1}{3}$；     
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，lnx₁），$\frac{ln{x}_{1}+\frac{1}{3}}{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{1}}$，得x₁=${e}^{\frac{2}{3}}$，
故k_AC =$\frac{1}{{x}_{1}}={e}^{-\frac{2}{3}}$，
結(jié)合圖象可得數(shù)m的取值范圍是：（$\frac{1}{3}$，e${\;}^{-\frac{2}{3}}$），
故答案為：（$\frac{1}{3}$，e${\;}^{-\frac{2}{3}}$）．

點(diǎn)評 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及函數(shù)的圖象的作法與應(yīng)用，屬于中檔題．