Question

3．已知F為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點，直線l經(jīng)過點F，若點A（a，0），B（0，b）關(guān)于直線l對稱，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 由題意可得AB為直線l的垂直平分線，運用中點坐標(biāo)公式和垂直的條件，可得l的方程，令y=0，可得左焦點坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式，可得e的方程，解方程可得離心率．

解答 解：點A（a，0），B（0，b）關(guān)于直線l對稱，
可得AB為直線l的垂直平分線，
AB的中點為（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），AB的斜率為-$\frac{a}$，
可得直線l的方程為y-$\frac{2}$=$\frac{a}$（x-$\frac{a}{2}$），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$a-$\frac{^{2}}{2a}$，
由題意可得-c=$\frac{1}{2}$a-$\frac{^{2}}{2a}$，
即有a（a+2c）=b²=c²-a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$（1-$\sqrt{3}$舍去），
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查線段的垂直平分線方程，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．