12.在直角坐標(biāo)系中,圓C的方程是x2+y2-4x=0,圓心為C,在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ=-4$\sqrt{3}$sinθ與圓C相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求曲線C1和直線AB的直角坐標(biāo)方程;
(2)若過圓心C的直線C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù))交直線AB于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,求|CD|:|CE|的值.

分析 (1)曲線${C_1}:ρ=-4\sqrt{3}sinθ$,所以${ρ^2}=-4\sqrt{3}ρsinθ$,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程,與曲線C的方程為聯(lián)立相減可得直線AB的方程.
(2)聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與直線AB的方程$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$可得tD.理聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與y軸方程可得tE,即可得出.

解答 解:(1)曲線${C_1}:ρ=-4\sqrt{3}sinθ$,所以${ρ^2}=-4\sqrt{3}ρsinθ$,
即${x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y=0$…(2分)   又曲線C的方程為:x2+y2-4x=0.
所以直線AB的方程為:${x^2}+{y^2}-4x-({x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y)=0$,即$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$.…5分
(2)聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與直線AB的方程$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$可得${t_D}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
所以$|{CD}|=|{t_D}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…(7分)
理聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與y軸方程可得${t_E}=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$,
所以$|{CE}|=|{t_E}|=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$…(9分) 
 所以|CD|:|CE|=1:2.…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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2.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=\frac{1}{2}+tsinα\end{array}\right.$(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$.
(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為$(-1,\frac{1}{2})$,直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求|PA|•|PB|的取值范圍.

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3.已知F為雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)F,若點(diǎn)A(a,0),B(0,b)關(guān)于直線l對(duì)稱,則雙曲線C的離心率為( 。
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20.(I)已知a+b+c=1,證明(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥$\frac{16}{3}$;
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