分析 (1)曲線${C_1}:ρ=-4\sqrt{3}sinθ$,所以${ρ^2}=-4\sqrt{3}ρsinθ$,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程,與曲線C的方程為聯(lián)立相減可得直線AB的方程.
(2)聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與直線AB的方程$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$可得tD.理聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與y軸方程可得tE,即可得出.
解答 解:(1)曲線${C_1}:ρ=-4\sqrt{3}sinθ$,所以${ρ^2}=-4\sqrt{3}ρsinθ$,
即${x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y=0$…(2分) 又曲線C的方程為:x2+y2-4x=0.
所以直線AB的方程為:${x^2}+{y^2}-4x-({x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y)=0$,即$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$.…5分
(2)聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與直線AB的方程$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$可得${t_D}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
所以$|{CD}|=|{t_D}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…(7分)
理聯(lián)立${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$與y軸方程可得${t_E}=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$,
所以$|{CE}|=|{t_E}|=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$…(9分)
所以|CD|:|CE|=1:2.…(10分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$ | C. | $\sqrt{3}+1$ | D. | $\sqrt{2}+1$ |
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