Question

（2012•鄭州二模）已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（I）當(dāng)a=

1

2

時，求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）-

1

4

x在[1，e]上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值與最值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)g′（x）=

-ax2+4ax-4

4ax2

(a＞0)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-ax²+4ax-4，由題意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，從而可求正實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時，f′(x)=

x-2

x2

（x＞0），
∴當(dāng)x∈[1，2]時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，e]時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在（2，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上有唯一極小值點，
故f（x）_min=f（x）_極小值=f（2）=ln2-1．
又∵f（1）=0，f（e）=

2-e

e

＜0．
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（x）_max=f（1）=0．
綜上可知，函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2-1．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-

1

4

x，
∴g′（x）=

-ax2+4ax-4

4ax2

(a＞0)，
設(shè)h（x）=-ax²+4ax-4，由題意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，
因為a＞0，h（x）圖象的對稱軸為x=2，
所以只需h（1）=3a-4≥0，所以a≥

4

3

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．