Question

13．數(shù)列{a_n}中，a₁=1，$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N），a₅=-11，則其通項為a_n=$\frac{11}{14-3n}$（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項的等差數(shù)列，再求出公差d，即可求得a_n．

解答 解：∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∵$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項的等差數(shù)列，
∵a₅=-11，
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$=-$\frac{1}{11}$，
設數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差為d，
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+4d，
∴-$\frac{1}{11}$=1+4d，
解得d=-$\frac{3}{11}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{3}{11}$（n-1），
∴a_n=$\frac{11}{14-3n}$，
當n=1時，a₁=1成立，
綜上所述其通項為a_n=$\frac{11}{14-3n}$，（ n∈N⁺ ）
故答案為：a_n=$\frac{11}{14-3n}$，（ n∈N^* ）

點評 本題主要考查用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，判斷數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項的等差數(shù)列是解題的關鍵，屬于中檔題．