Question

如圖，某海濱浴場(chǎng)的岸邊可近似地看作直線a，救生員現(xiàn)在岸邊的A處，發(fā)現(xiàn)海中的B處有人求救，救生員沒(méi)有直接從A處游向B處，而是在AD（D為海岸邊距B最近的點(diǎn)）上找到一點(diǎn)C，沿岸邊從A處跑到C處，然后游到B處，若救生員在岸邊的行進(jìn)速度為4（m/s），在海水中的行進(jìn)速度為2（m/s），∠BAD=45°，BD=200（m），救生員從A到C再到B的時(shí)間為y（s）．
（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)∠BCD=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)CD=x（m），將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定C點(diǎn)的位置，使救生員從A到C再到B的時(shí)間最短．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）①利用三角函數(shù)知識(shí)表示出BC，CD，AC，可得y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)CD=x（m），表示出BC，CD，AC，可得y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）選用①，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解即可．

解答： 解：（1）①BC=

200

sinθ

，CD=

200cosθ

sinθ

，AC=200-

200cosθ

sinθ

，所以y=

200- 200cosθ sinθ

4

+

200

2sinθ

=50+50•

2-cosθ

sinθ

(

π

4

＜θ≤

π

2

)
②AC=200-x，BC=

2002+x2

，即y=

200-x

4

+

2002+x2

2

=

10000+ 1 4 x2

-

1

4

x+50(0≤x＜200)
（2）選用①，令f(θ)=

2-cosθ

sinθ

，f′(θ)=

sin2θ-(2-cosθ)cosθ

sin2θ

=

1-2cosθ

sin2θ

當(dāng)θ∈(

π

4

，

π

3

]時(shí)，f'（θ）＜0，f（θ）為θ的單調(diào)遞減函數(shù)；θ∈(

π

3

，

π

2

]時(shí)，f'（θ）＞0，f（θ）為θ的單調(diào)遞增函數(shù)．
所以當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，f（θ）取得最小值，此時(shí)AC=200(1-

3

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．