分析 (1)若p為真命題,則$a≥-\frac{1}{x}$,x∈(0,2]恒成立,進(jìn)而得到得實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)如果“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,則命題p與q一真一假,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(1)因?yàn)?+ax≥0對(duì)x∈(0,2]恒成立,所以$a≥-\frac{1}{x}$,
所以$a≥{({-\frac{1}{x}})_{max}}=-\frac{1}{2}$,即a的取值范圍為$[{-\frac{1}{2},+∞})$…(4分)
(2)對(duì)于q,$g(x)=ax-\frac{a}{x}+2lnx,g'(x)=a+\frac{a}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}+2x+a}}{x^2}$,
若a≥0,g'(x)>0,g(x)在定義域單調(diào)遞增,在其定義域上不存在極值,不符合題意;
若a<0,則$-\frac{1}{a}>0$,由△=4-4a2>0,解得-1<a<0,
所以,若q為真命題,則-1<a<0,…(8分)
因?yàn)椤皃或q”為真命題,“p且q”為假命題,所以命題p與q一真一假,
①p真q假時(shí),$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≥0或a≤-1}\end{array}}\right.$,解得a≥0,
②p假q真時(shí),$\left\{{\begin{array}{l}{a<-\frac{1}{2}}\\{-1<a<0}\end{array}}\right.$,解得$-1<a<-\frac{1}{2}$,
綜上所述,a的取值范圍為$({-1,-\frac{1}{2}})∪[{0,+∞})$…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,復(fù)合命題等知識(shí)點(diǎn),難度中檔.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | -2 | B. | 0 | C. | 2 | D. | 2015 |
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{1}{6}$ | D. | $\frac{1}{7}$ |
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