Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立，若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f（2015）=（　�。�

• A． -2
• B． 0
• C． 2
• D． 2015

Answer 1

分析 先由函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，在已知條件中令x=-1可求f（1）及函數(shù)的周期，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴由函數(shù)的圖象的平移可知函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=0對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)
∵f（x+2）=f（x）+f（1）
令x=-1可得
f（1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
從而可得f（x+2）=f（x），
即函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)
∴f（2015）=f（1）=0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，由圖象判斷函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期的求解是求解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．