Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PD⊥面ABE；
（2）在線(xiàn)段PD上是否存在點(diǎn)F，使CF∥面PAB？若存在，指出點(diǎn)F的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證PD⊥面ABE，按線(xiàn)面垂直的判定定理，要讓PD垂直于平面ABE內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，有一條直線(xiàn)能看出垂直，PD⊥AB，因?yàn)锳B⊥AD，PA⊥底面ABCD，所以AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD，所以PD⊥AB，另一條直線(xiàn)是PD⊥AE，這是通過(guò)證明AE⊥平面PCD得出的．
（2）要找一點(diǎn)F，使CF∥平面PAB，轉(zhuǎn)化成找CF所在的平面和平面PAB平行，可以過(guò)C作CG∥AB，作GF∥PA，這樣便容易證明平面CFG∥平面PAB，并且通過(guò)邊的關(guān)系找到F點(diǎn)在PD上的位置．

解答： 解：（1）設(shè)PA=AB=BC=a，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=a=PA，E為PC中點(diǎn)；
∴AE⊥PC；
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD；
∴PA⊥CD；
又AC⊥CD；
∴CD⊥平面PAC，AE?平面PAC；
∴CD⊥AE，即AE⊥CD，PC∩CD=C；
∴AE⊥平面PCD，PD?平面PCD；
∴AE⊥PD，即PD⊥AE；
∵AB⊥PA，AB⊥AD；
∴AB⊥平面PAD，PD?平面PAD；
∴AB⊥PD，即PD⊥AB，AB?平面ABE，AE?平面ABE，且AB∩AE=A；
∴PD⊥面ABE．
（2）過(guò)C作CG∥AB，交AD于G，過(guò)G作GF∥PA交PD于F，連接CF；
∵CG∥AB，AB?平面PAB；
∴CG∥平面PAB，同理GF∥平面PAB；
∴平面CFG∥平面PAB，CF?平面CFG；
∴CF∥平面PAB；
∵∠CAD=30°，AC=a；
∴CD=

3 a

3

，CG=

a

2

，AD=

2 3 a

3

，∠CGD=90°；
∴DG=

3 a

6

，

DG

AD

=

3 6 a

2 3 a 3

=

1

4

；
∴F點(diǎn)找到了，它在PD上，使DF=

1

4

PD．

點(diǎn)評(píng)：考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，線(xiàn)面垂直的判定定理，線(xiàn)面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，注意找一條直線(xiàn)與一平面平行，通過(guò)找這條直線(xiàn)所在平面和那個(gè)平面平行的辦法．