Question

【題目】已知數(shù)列滿足：（常數(shù)），，（，）.數(shù)列滿足：.

（1）分別求，，的值：

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）問：數(shù)列的每一項能否均為整數(shù)？若能，求出的所有可能值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）能，的所有取值為1和2.

【解析】

（1）利用遞推公式和已知能求出的表達式，再根據(jù)進行求解即可；

（2）把遞推公式變形，得到一個等式，再遞推一步，再得到一個等式，兩個等式相減，再經過變形，能得到以，即，最后求出數(shù)列的通項公式；

（3）假設存在正整數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù).由（2）可得：，根據(jù)是整數(shù)，求出求出的值，然后逐一進行驗證即可.

（1）因為，，所以，

因為，所以，；

（2）當時，，……①，所以，……………②

①－②有：，即：，

所以，即，所以

（3）假設存在正整數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù).

由（2）知……③

因為，，所以，

檢驗：當的，為整數(shù)，且，，結合③，數(shù)列的每一項均為整數(shù)，符合；

當時③變?yōu)?/span>

消去，得：（），因為，，所以數(shù)列的偶數(shù)項均為整數(shù)，

又因為，所以為偶數(shù)，且，所以，奇數(shù)項均為整數(shù)，符合.

綜上：的所有取值為1和2.