Question

2．已知2a²+3b²=10，求y=a$\sqrt{^{2}+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 平方配湊可得當a＞0時y²的最大值，開方可得，同理可得最小值．

解答 解：當a＞0時，y²=a²（b²+2）=$\frac{1}{6}$•2a²（3b²+6）
≤$\frac{1}{6}$（$\frac{2{a}^{2}+3^{2}+6}{2}$）²=$\frac{1}{6}$（$\frac{10+6}{2}$）²=$\frac{32}{3}$，
當且僅當2a²=3b²+6即a=2且b=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$時取等號，
∴y=a$\sqrt{^{2}+2}$的最大值為$\sqrt{\frac{32}{3}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
同理當a＜0時，當且僅當a=-2且b=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，y=a$\sqrt{^{2}+2}$取最小值-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及“配湊法”和分類討論，屬中檔題．