Question

已知函數(shù)，（x＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，求證：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅲ）若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0），求m的取值范圍．

Answer 1

（I）證明：∵x＞0，∴
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和，即．
∴2ab=a+b＞．
故，即ab＞1．
（II）解：不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．
若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a，b]，
則a＞0，
①當(dāng)a，b∈（0，1）時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù)．
故，即，解得a=b．
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
②當(dāng)a，b∈[1，+∞）時(shí)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
故，即
此時(shí)a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程無(wú)實(shí)根．
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
③當(dāng)a∈（0，1），b∈[1，+∞）時(shí)，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
（III）若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]．
則a＞0，m＞0．
①當(dāng)a，b∈（0，1）時(shí)，由于f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，故．
此時(shí)刻得a，b異號(hào)，不符合題意，所以a，b不存在．
②當(dāng)a∈（0，1）或b∈[1，+∞）時(shí)，由（ II）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴，即
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個(gè)根，即關(guān)于x的方程mx²-x+1=0有兩個(gè)大于1的實(shí)根．
設(shè)這兩個(gè)根為x₁，x₂，則x₁+x₂=，x₁•x₂=．
∴，即
解得．
故m的取值范圍是．
分析：（I）確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得，利用基本不等式，即可得出結(jié)論；
（II）分類(lèi)討論，若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a，b]，從而可得結(jié)論；
（III）分類(lèi)討論，若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]，即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的運(yùn)用，考查基本不等式，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．