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16.已知函數(shù)f (x)=ax-lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f (x)的最小值;
(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),存在x∈[1e,e],使得f (x)=1成立,求a的取值范圍;
(3)若對(duì)任意的x∈[1,+∞),有f (x)≥f (1x)成立,求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值即可;
(2)得到a=1x+lnxx,設(shè)g(x)=1x+lnxx,x∈[1e,e],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a(x-1x)-2lnx≥0,令h(x)=a(x-1x)-2lnx,通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出a的范圍即可.

解答 解:(1)a=1時(shí),f(x)=x-lnx,
則f'(x)=1-1x=x1x,
令f'(x)=0,則x=1.                             …(2分)
當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,…(3分)
所以當(dāng)x=1時(shí),f (x)取到最小值,最小值為1.         …(4分)
(2)因?yàn)?nbsp;f (x)=1,所以ax-lnx=1,即a=1x+lnxx,…(6分)
設(shè)g(x)=1x+lnxx,x∈[1e,e],則g'(x)=lnxx2,
令g'(x)=0,得x=1.
當(dāng)1e<x<1時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(1e,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)1<x<e時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減;   …(8分)
因?yàn)間(1)=1,g(1e)=0,g(e)=2e
所以函數(shù)g (x)的值域是[0,1],
所以a的取值范圍是[0,1].                       …(10分)
(3)對(duì)任意的x∈[1,+∞),有f(x)≥f(1x)成立,
則ax-lnx≥ax+lnx,即a(x-1x)-2lnx≥0.
令h(x)=a(x-1x)-2lnx,
則h'(x)=a(1+1x2)-2x=ax22x+ax2
①當(dāng)a≥1時(shí),ax2-2x+a=a(x-1a2+a21a≥0,
所以h'(x)≥0,因此h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以x∈[1,+∞)時(shí),恒有h(x)≥h(1)=0成立,
所以a≥1滿(mǎn)足條件.                             …(12分)
②當(dāng)0<a<1時(shí),有1a>1,若x∈[1,1a],則ax2-2x+a<0,
此時(shí)h'(x)=ax22x+ax2<0,
所以h(x)在[1,1a]上單調(diào)遞減,所以h(1a)<h(1)=0,
即存在x=1a>1,使得h(x)<0,所以0<a<1不滿(mǎn)足條件.…(14分)
③當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤≥1,所以h'(x)<0,
所以h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)=0,所以a≤0不滿(mǎn)足條件.
綜上,a的取值范圍為[1,+∞).…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想,是一道綜合題.

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