Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形．
（1）若PD=AD，E為PA的中點，求證：平面CDE⊥平面PAB；
（2）F是棱PC上的一點，CF=CP，問線段AC上是否存在一點M，使得PA∥平面DFM．若存在，指出點M在AC邊上的位置，并加以證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PD⊥底面ABCD，知PD⊥CD，由底面ABCD是矩形．知CD⊥AD，CD⊥平面PAD，由PA?平面PAD，知CD⊥PA，由此能夠證明平面CDE⊥平面PAB．
（2）在線段AC上存在點M，使得PA∥平面DFM，此時點M為靠近C點的一個四等分點．利用題設(shè)條件和空間幾何知識能夠進行解答．
解答：（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥CD
又∵底面ABCD是矩形．∴CD⊥AD∴CD⊥平面PAD
又PA?平面PAD∴CD⊥PA                  …（3分）
∵PD=AD，E為PA的中點∴DE⊥PA             …（4分）
CD∩DE=D∴PA⊥平面CDE，…（5分）
又PA?平面PAB
∴平面CDE⊥平面PAB．…（6分）
（2）解：在線段AC上存在點M，使得PA∥平面DFM，此時點M為靠近C點的一個四等分點，…（7分）
證明如下：
連接AC．BD．設(shè)AC∩BD=O，PC的中點為G，連OG，則PA∥OG，
在△PAC中，∵CF=CP∴F為CG的中點．           …（9分）
取OC的中點M，即CM=CA，則MF∥OG，∴MF∥PA    …（11分）
又PA?平面DFM，MF?平面DFM
∴PA∥平面DFM．…（12分）
點評：本題考查平面與平面垂直的證明，探索線段上點的存在性．有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．