Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)BA至C，使BC=3AC，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的割線交⊙O于D、E兩點(diǎn)，且∠ADC=∠AOD．
（1）證明：AD=DE；
（2）若AD=2，求四邊形BEDO的面積．

Answer 1

分析 （1）證明OD∥BE，利用BE⊥AE，可得OD⊥AE，D是$\widehat{AE}$的中點(diǎn)，即可證明AD=DE；
（2）若AD=2，設(shè)AE的中點(diǎn)為F，求出OF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，BE=3$\sqrt{2}$，EF=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，利用梯形的面積公式，即可求四邊形BEDO的面積．

解答 （1）證明：∵A，D，E，B四點(diǎn)共圓，
∴∠ADC=∠B
∵∠ADC=∠AOD，
∴∠B=∠AOD，
∴OD∥BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AE，
∴OD⊥AE，
∴D是$\widehat{AE}$的中點(diǎn)，
∴AD=DE；
（2）解：由（1）知道，△CDA∽△COD，
∴$\frac{CD}{CO}=\frac{DA}{OD}$，
∵BC=3AC，
∴CD=2DA，
∵AD=2，
∴CD=4，
由割線定理可得4×6=CA×3CA，
∴CA=2$\sqrt{2}$，
設(shè)AE的中點(diǎn)為F，則$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$×AF=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{8-1}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴OF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，BE=3$\sqrt{2}$，EF=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴四邊形BEDO的面積S=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{14}}{2}$=$\frac{9\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，考查割線定理，考查四邊形BEDO的面積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．