18.已知a1=1,an+1=pan-n-1(p∈R,n∈N*
(1)當(dāng)p=1時,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an-n-2,若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,求p的值.

分析 (1)當(dāng)p=1時,得到an+1-an=n-1,利用累加法即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an-n-2,根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系,結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)當(dāng)p=1時,an+1=an-n-1,
即an+1-an=n-1,
則a2-a1=0,
a3-a2=1,
a4-a3=2,

an-an-1=n-2,
等式兩邊同時相加得
an-a1=0+1+2+…+(n-2)=$\frac{(n-1)(0+n-2)}{2}$=$\frac{{n}^{2}-3n+2}{2}$,
∴an=$\frac{{n}^{2}-3n+2}{2}$+1=$\frac{{n}^{2}-3n+4}{2}$;
(2)∵an+1=pan-n-1,
∴an+1-(n+1)-2=pan-n-1-(n+1)-2=pan-2n-4=2($\frac{p}{2}$an-n-2),
若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,則$\frac{p}{2}$=1,即p=2.

點評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用,利用列舉法求數(shù)列的通項公式,以及結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

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