Question

若函數y=f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），對定義域內的任意兩個實數x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），并且當x＞1時，f（x）＞0，且f（4）=2
（1）證明函數y=f（x）為偶函數；
（2）證明函數f（x）在（0，+∞）上為增函數；
（3）若函數g（x）=2^x-2，且當a∈[1，4]時，有f（a）=g（b），求b的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數奇偶性的判斷

專題：證明題,函數的性質及應用

分析：（1）運用函數的奇偶性的定義，令x=y=1得到f（1）=0，令x=y=-1得到f（-1）=0，令y=-1則f（-x）=f（x），結論成立；
（2）運用增函數的定義證明，令0＜x₁＜x₂則

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，再由條件可得到f（x₂）＞f（x₁），
可得證；
（3）由a∈[1，4]，f（x）為增函數，求出f（a）的取值范圍，再解0≤2^b-2≤2，即可得到b的取值范圍．

解答： （1）證明：∵定義域關于原點對稱，
∴令x=y=1則f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
令x=y=-1則f（1）=2f（-1）
∴f（-1）=0，
令y=-1則f（-x）=f（x）+f（-1）
∴f（-x）=f（x）即y=f（x）為偶函數；
（2）證明：∵當x＞1時，f（x）＞0，
令0＜x₁＜x₂則

x2

x1

＞1，
f（

x2

x1

）＞0即f（x₂）+f（

1

x1

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數；
（3）解：由g（x）=2^x-2得g（b）=2^b-2，
又a∈[1，4]，f（x）為增函數，
∴f（1）最大即為0，f（4）最大即為2，
即0≤2^b-2≤2故1≤b≤2，
∴b的取值范圍是[1，2]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性及應用，注意定義的運用，以及考查解決抽象函數的常用方法：賦值法，屬于中檔題．