Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥BA₁；
（Ⅱ）求四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先利用面面垂直的判定定理證明出平面A₁AC⊥平面ABC，進(jìn)而證明出BC⊥AC₁，同理根據(jù)菱形的性質(zhì)證明出A₁C⊥AC₁，利用線面垂直的判定定理證明出AC₁⊥平面A₁CB，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出AC₁⊥BA₁．
（Ⅱ）分別求出VA1B1C1-ABC和VA1-ABC最后作差即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，
∴A₁D⊥平面ABC，
∵A₁D?平面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面ABC，
∵BC⊥AC，平面A₁AC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁AC，
∵AC₁?平面A₁AC，
∴BC⊥AC₁，
∵四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，AA₁=AC，
∴四邊形ACC₁A₁為菱形，
∴A₁C⊥AC₁，
∵A₁C?平面A₁CB，BC?平面A₁CB，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁CB，
∵BA₁?平面A₁CB，
∴AC₁⊥BA₁．
（Ⅱ）∵VA1-ABC=

1

3

S_△ABC•A₁D=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

．
VA1B1C1-ABC=S_△ABC•A₁D=

1

2

×2×2×

3

=2

3

．
∴VA1-BCC1B1=VA1B1C1-ABC-VA1-ABC=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，和棱柱體積的計算．考查了學(xué)生空間觀察能力和實際運(yùn)算能力．