已知圓的圓心在坐標原點O,且恰好與直線相切.
(1)求圓的標準方程;
(2)設(shè)點A為圓上一動點,AN軸于N,若動點Q滿足(其中m為非零常數(shù)),試求動點的軌跡方程.
(3)在(2)的結(jié)論下,當時,得到動點Q的軌跡曲線C,與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點,求面積的最大值.
(1);(2);(3).
解析試題分析:(1)求圓的方程,已經(jīng)已知圓心坐標,只要再求得圓的半徑即可,而圓心的半徑等于圓心到切線的距離;(2)本題動點可以看作是由動點的運動成生成的,因此可以用動點轉(zhuǎn)移法求點的軌跡方程,具體方法就是設(shè),,利用條件,求出與的關(guān)系,并且用來表示,然后把代入(1)中圓的方程,就能求得動點為的軌跡方程;(3)時,曲線的方程為,直線與垂直,其方程可設(shè)為,這條直線與曲線相交,由此可求得的取值范圍,而的面積應(yīng)該表示為的函數(shù),然后利用函數(shù)的知識或不等式的知識求得最值.
試題解析:(1)設(shè)圓的半徑為,圓心到直線距離為,則
所以,圓的方程為
(2)設(shè)動點,,軸于,
由題意,,所以 即: ,
將代入,得動點的軌跡方程.
(3)時,曲線方程為,設(shè)直線的方程為
設(shè)直線與橢圓交點
聯(lián)立方程得
因為,解得,且
又因為點到直線的距離
.(當且僅當即
時取到最大值)面積的最大值為.
考點:(1)圓的方程;(2)動點轉(zhuǎn)移法求軌跡方程;(3)直線與橢圓相交,面積的最值問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓=1(a>b>0)的離心率e=,連結(jié)橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A,B.已知點A的坐標為(-a,0).若|AB|=,求直線l的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.
(1)若P(,),Q(,1),求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.
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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當△AMN的面積為時,求k的值.
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已知常數(shù),向量,經(jīng)過定點以為方向向量的直線與經(jīng)過定點以為方向向量的直線相交于,其中,
(1)求點的軌跡的方程;(2)若,過的直線交曲線于兩點,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定點A(-2,0)和B(2,0),曲線E上任一點P滿足|PA|-|PB|=2.
(1)求曲線E的方程;
(2)延長PB與曲線E交于另一點Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直線l的方程為x=a(a≤),延長PB與曲線E交于另一點Q,如果存在某一位置,使得從PQ的中點R向l作垂線,垂足為C,滿足PC⊥QC,求a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
我校某同學(xué)設(shè)計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”來慶祝數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)的成功舉辦.其中、是過拋物線焦點的兩條弦,且其焦點,,點為軸上一點,記,其中為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)當“蝴蝶形圖案”的面積最小時求的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓E:=1(a>b>0)的右焦點為F,過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A,B兩點,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若圓x2+y2=的切線L與橢圓E相交于P,Q兩點,當P,Q兩點橫坐標不相等時,OP(O為坐標原點)與OQ是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓E:=1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的兩個焦點,M為橢圓上任意一點,且|MF1|,|F1F2|,|MF2|構(gòu)成等差數(shù)列,點F2(c,0)到直線l:x=的距離為3.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若存在以原點為圓心的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且⊥,求出該圓的方程.
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