Question

13．某工廠制造一批無蓋長方體容器，已知每個容器的容積都是9立方米，底面都是一邊長為2米，另一邊長為x米的長方形，如果制造底面的材料費(fèi)用為a元/平方米，制造側(cè)面的材料費(fèi)用為b元/平方米，其中0＜$\frac{a}$＜1，設(shè)計時材料的厚度忽略不計．
（1）試將制造每個容器的成本y（單位：元）表示成底面邊長x（單位：米）的函數(shù)；
（2）若要求底面邊長x滿足1≤x≤2（單位：米），則如何設(shè)計容器的尺寸，使其成本最低？

Answer 1

分析 （1）設(shè)長方體容器的高為h（h＞0），依據(jù)題意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，從而寫出該容器成本y（單位：元）表示成底面邊長x（單位：米）的函數(shù)；
（2）利用基本不等式，即可得到所求的最值和對應(yīng)的x的值．

解答 解設(shè)長方體容器的高為h（h＞0），依據(jù)題意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，--------------------------------------------------（2分）
容器的側(cè)面積為4h+2xh，容器第面積為2x，
所以y=2xa+b（4h+2xh）=2ax+$\frac{18b}{x}+9b$（x＞0）；-----------------------------------------------（6分）
說明：不寫定義域x＞0扣（3分）
（2）令m=$\frac{a}$∈（0，1），y=2a（x+$\frac{9m}{x}$），令f（x）=x+$\frac{9m}{x}$（x＞0），
則f$′（x）=1-\frac{9m}{{x}^{2}}$，當(dāng)x$∈（0，3\sqrt{m}）$時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，3$\sqrt{m}）$上單調(diào)遞減；
當(dāng)x$∈（3\sqrt{m}，+∞）$時，f′（x）＞0，所以f（x）在（3$\sqrt{m}$，+∞）上單調(diào)遞增．--------------------------------------------------（10分）
又1≤x≤2，當(dāng)3$\sqrt{m}$＞2時，當(dāng)x=2時，y取得最小值；
當(dāng)3$\sqrt{m}$≤1時，當(dāng)x=1時，y取得最小值；
當(dāng)1$＜3\sqrt{m}＜2$時，當(dāng)x=3$\sqrt{m}$時，y取的最小值．--------------------------------------------------（12分）
答：故當(dāng)b$≥\frac{4a}{9}$時，當(dāng)容器的底面邊長為2米時，容器的成本最低；
當(dāng)$\frac{a}{9}＜\\;b＜\frac{4a}{9}$b$＜\frac{4a}{9}$時，當(dāng)容器的底面邊長為3$\sqrt{\frac{a}}$米時，容器的成本最低；
當(dāng)b$≤\frac{a}{9}$時，當(dāng)容器的底面邊長為1米時，容器的成本最低．--------------------------------------------------（16分）

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用，屬于中檔題．