Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC ="∠BAD" =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，且EF∥BC。設(shè)AE =，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．

（1）當(dāng)=2時，求證：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（3）當(dāng)取得最大值時，求二面角D-BF-E的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）建立空間坐標(biāo)系E-xyz, B（2，0，0）D（0，2，2）E（0，0，0）G（2，2，0）,

（－2，2，2）（2，2，0）＝0∴（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）方法一：

∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz．

 

，又為BC的中點，BC=4，

．則A（0，0，2），B（2，0，0），

G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，

∴．……4分

方法二：

作DH⊥EF于H，連BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

為平行四邊形，且，四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分

（或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）

（2）∵AD∥面BFC，所以 =V_A-BFC＝

，即時有最大值為． ………8分

（3）設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE=2， B（2，0，0），

D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），∴………9分

（－2，2，2），

則 ，即，

取，∴

，面BCF一個法向量為，

則cos<>=，………14分

考點：兩線垂直的判定及求解二面角大小

點評：本題用向量方法求解比較簡單