Question

17．在平面內(nèi)，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，P點是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A、B點．
①求O到AB的距離；
②求|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的定義，可得a=2，再由橢圓的離心率公式，可得c，運用a，b，c的關(guān)系可得b，進而得到橢圓方程；
（2）①設(shè)x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得橢圓的極坐標方程，設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），運用勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理，即可得到O到AB的距離；
②運用向量數(shù)量積的性質(zhì)可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=|OA|²+|OB|²，運用二倍角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|=4，
即有a=2，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①設(shè)x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得橢圓的方程為：
ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，
設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），
則|AB|²=|OA|²+|OB|²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$+$\frac{12}{3+si{n}^{2}（θ-\frac{π}{2}）}$
═$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$+$\frac{12}{3+co{s}^{2}θ}$=$\frac{84}{12+si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$，
由三角形的面積公式可得O到AB的距離的平方為：
$\frac{|OA{|}^{2}•|OB{|}^{2}}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{\frac{144}{（3+si{n}^{2}θ）（3+co{s}^{2}θ）}}{\frac{84}{（3+si{n}^{2}θ）（3+co{s}^{2}θ）}}$=$\frac{12}{7}$．
即有O到AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；
②|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=|OA|²+|OB|²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$+$\frac{12}{3+si{n}^{2}（θ-\frac{π}{2}）}$
=$\frac{84}{12+si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$=$\frac{84}{12+\frac{1}{4}si{n}^{2}2θ}$，
由0≤sin²2θ≤1，可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²的最大值為7，最小值為$\frac{48}{7}$，
可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的取值范圍是[$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，$\sqrt{7}$]．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和橢圓的定義，考查橢圓的極坐標方式的運用：求點到直線的距離和取值范圍的求法，注意運用三角函數(shù)的恒等變換，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．