Question

（1）實數(shù)m分別取什么值時，復(fù)數(shù)z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是①實數(shù)，②虛數(shù)，③純虛數(shù)；
（2）設(shè)z²=8+6i，求．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由復(fù)數(shù)z的實部等于0，虛部等于0解出m的值，然后根據(jù)復(fù)數(shù)z是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的定義得到m的取值；
（2）把要求解的式子通分，然后代入z²的值進(jìn)行化簡，再設(shè)出復(fù)數(shù)z，平方后利用復(fù)數(shù)相等求出z，最后代入化簡過的式子得到結(jié)果．
解答：解：（1）由m²-3m-4=0，得：m=-1或m=4．
由m²-5m-6=0，得：m=-1或m=6．
所以①，要使復(fù)數(shù)z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是實數(shù)，則m=-1或m=6；
要使復(fù)數(shù)z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是虛數(shù)，則m≠-1且m≠6；
要使復(fù)數(shù)z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是純虛數(shù)，則m=4．
（2）=
=
=．
設(shè)z=a+bi（a，b∈R），由z²=8+6i，得（a+bi）²=a²-b²+2abi=8+6i．
所以，解得或．
則z=3+i或z=-3-i．
當(dāng)z=3+i時，=．
當(dāng)z=-3-i時，=．
點評：本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，復(fù)數(shù)的除法采用分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．