Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC．
（1）求證：平面ABFE⊥平面DCFE；
（2）求四面體B-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤螧FC=90°，所以FC⊥BF，又因?yàn)镋F⊥FB，根據(jù)線面垂直的判定定理可得：BF⊥平面EFCD，進(jìn)而得到面面垂直．
（2）根據(jù)四邊形ABCD為正方形，可得AB⊥BC．進(jìn)而可得EF⊥BC，而EF⊥BF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得EF⊥面BCF，
所以EF⊥FC，即FC是△DEF的邊EF上的高，由（1）得：BF的長(zhǎng)為B到面DEF的距離，進(jìn)而求出答案．

解答：解：（1）因?yàn)椤螧FC=90°，
所以FC⊥BF，
又因?yàn)镋F⊥FB，又FC∩EF=F，并且FC，EF?平面EFCD，
所以BF⊥平面EFCD，
因?yàn)锽F?平面ABEF，
所以平面ABFE⊥平面DCFE．
（2）∵四邊形ABCD為正方形，則AB⊥BC
又EF∥AB，則EF⊥BC，而EF⊥BF，BF∩BC=B且BF，BC?面BCF
所以：EF⊥面BCF，而FC?面BCF，則：EF⊥FC
即FC是△DEF的邊EF上的高，
由（1）得：BF⊥面EFCD，即：BF的長(zhǎng)為B到面DEF的距離，
所以：VB-DEF=

1

3

S△DEF•BF=

1

3

•(

1

2

•1•

2

)•

2

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線線的垂直關(guān)系證明線面垂直與面面垂直，進(jìn)而求出幾何體積．