【答案】
分析:(1)解法一:以線段FA的中點為原點O,以線段FA所在的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由此易求出曲線C的方程,設(shè)出P點坐標(biāo)后,根據(jù)P
B⊥AB,構(gòu)造方程,解方程求出P點坐標(biāo),即可得到答案.
解法二:以點A為原點O,以線段FA所在的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)出P點的坐標(biāo),根據(jù)曲線C是平面α上到定點F和到定直線l的距離相等的動點P的軌跡,構(gòu)造方程,解方程求出P點坐標(biāo),即可得到答案.
(2)解法一:由(1)可得,△ABP的面積及△AFP的面積,然后使用等體積法,即可求出點F到平面ABP
的距離h.
解法二:計算出平面ABP
的一個法向量的坐標(biāo),代入點到平面距離公式,

,即可求出點F到平面ABP
的距離h.
解答:
解:(1)(解法一)如圖,以線段FA的中點為原點O,以線段FA所在的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由題意,曲線C是平面α上以原點O為頂點,由于在xOy平面內(nèi),CF(2,0,0)
是以O(shè)為頂點,以x軸為對稱軸的拋物線,其方程為y
2=4x,
因此,可設(shè)

A(-1,0,0),B(1,0,2),所以,

,

.
由P
B⊥AB,得

,

所以,直線P
B與平面α所成角的大小為

(或

).
(解法二)如圖,以點A為原點O,以線段FA所在的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
所以,A(0,0,0),B(2,0,2),F(xiàn)(2,0,0),并設(shè)P(x,y,0),
由題意,



所以,直線P
B與平面α所成角的大小為

(或

).
(2)(解法一)由(1),得△ABP的面積為

,△AFP的面積為

,
所以,

,
解得,

.
(解法二)

,

,設(shè)向量

則

所以,平面ABP
的一個法向量

,∴

.
點評:本題考查的知識點是直線與平面所成的角,點到平面的距離計算,其中(1)的關(guān)鍵是求出滿足條件的P點坐標(biāo),(2)的中解法一關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想,根據(jù)棱錐翻轉(zhuǎn)過程中體積不變進(jìn)行求解,解法二的關(guān)鍵是點到平面距離公式,

.