用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,則截面與底面之間的部分叫棱臺(tái)。
如圖,在四棱臺(tái)中,下底是邊長(zhǎng)為的正方形,上底是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱⊥平面,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求平面與平面夾角的余弦值.
以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).
(Ⅰ)設(shè)由得到,進(jìn)一步得到平面;
(Ⅱ)二面角的余弦值為.
解析試題分析:以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2). 3分
(Ⅰ)證明:設(shè)則有所以,,∴平面; 6分
(Ⅱ)解:
設(shè)為平面的法向量,
于是 8分
同理可以求得平面的一個(gè)法向量, 10分
∴二面角的余弦值為. 12分
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系,角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。在空間垂直關(guān)系明確的情況下,通過(guò)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用向量可簡(jiǎn)化證明過(guò)程。本題難度不大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E、F分別在BC、AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF平面EFDC.
(Ⅰ) 當(dāng),是否在折疊后的AD上存在一點(diǎn),且,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(Ⅱ) 設(shè)BE=x,問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),三棱錐ACDF的體積有最大值?并求出這個(gè)最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直,,點(diǎn),分別是線段,的中點(diǎn).
(I)求證:平面 平面;
(Ⅱ)點(diǎn)在直線上,且//平面,求平面與平面所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖1,在Rt中, ,.D、E分別是上的點(diǎn),且.將沿折起到的位置,使,如圖2.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求與平面所成角的正弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),且.證明:平面PAD⊥平面PDC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
長(zhǎng)方體中,底面是正方形,,是上的一點(diǎn).
⑴求異面直線與所成的角;
⑵若平面,求三棱錐的體積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直,且,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖1,⊙O的直徑AB=4,點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn),且∠CAB=45o,F(xiàn)為的中點(diǎn).沿直徑AB折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖2).
(Ⅰ)求證:OF//平面ACD;
(Ⅱ)在上是否存在點(diǎn),使得平面平面ACD?若存在,試指出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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