Question

在圓x²+y²=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段，D為垂足，點M在線段PD上，且|DP|=|DM|，點P在圓上運動．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過定點C（-1，0）的直線與點M的軌跡交于A、B兩點，在x軸上是否存在點N，使為常數(shù)，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），利用|DP|=|DM|，確定P，M坐標之間的關(guān)系，再將P點的坐標后代入圓的方程即可得；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的數(shù)量積運算，化簡即可得到結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁）
∵|DP|=|DM|，∴
∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴
∴x²+2y²=4
∴點M的軌跡C的方程為；
（Ⅱ）假設(shè)存在N（n，0）
AB斜率存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），
代入橢圓方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵，
∴=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+=
∵是與k無關(guān)的常數(shù)，
∴
∴n=-，即N（-，0），此時
當(dāng)直線AB與x垂直時，n=-時
綜上所述，在x軸上存在定點N（-，0），使為常數(shù)．
點評：本題考查了利用相關(guān)點法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．