Question

在圓x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段，D為垂足，點(diǎn)M在線段PD上，且|DP|=|DM|，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)C（-1，0）的直線與點(diǎn)M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），利用|DP|=|DM|，確定P，M坐標(biāo)之間的關(guān)系，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)后代入圓的方程即可得；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁）
∵|DP|=|DM|，∴
∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴
∴x²+2y²=4
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為；
（Ⅱ）假設(shè)存在N（n，0）
AB斜率存在時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），
代入橢圓方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵，
∴=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+=
∵是與k無關(guān)的常數(shù)，
∴
∴n=-，即N（-，0），此時(shí)
當(dāng)直線AB與x垂直時(shí)，n=-時(shí)
綜上所述，在x軸上存在定點(diǎn)N（-，0），使為常數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．