Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₄s₄=-14，s₅-a₅=-14，其中s_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，曲線c_n的方程是，直線l的方程是y=x+3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）判斷c_n與 l 的位置關(guān)系；
（3）當直線l 與曲線c_n相交于不同的兩點A_n，B_n時，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意可得S₄=s₅-a₅=-14，故a₄S₄=-14a₄=-14，即a₄=1，
設(shè)數(shù)列的公差為d，則，
解得，故a_n=a₁+（n-1）d=3n-11；
（2）聯(lián)立方程，消掉y并整理得（|an|+4）x2+6|an|x+5|an|=0，
由題意知△=16（|a_n|²-5|a_n|）＞0，即|a_n|＞5，
∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即n＞或n＜2，
即n≥6或n=1時，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點．
（3）由（2）當n≥6或n=1時，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點．
M_n=（|a_n|+4）•|A_nB_n|=（|an+4|）
==，
∴當n=6時，M_n的最小值為
分析：（1）利用等差數(shù)列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，可求首項與公差，從而可求求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）將曲線C_n與l的方程聯(lián)立，利用判別式可求解；
（3）利用（2）的結(jié)論，表達出M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，再求M_n的最小值．
點評：本題以數(shù)列為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，并借助于判別式進行解決，屬中檔題．